基础数学示例

$\frac{4}{y^{2} - 3 y + 2} + \frac{7}{y^{2} - 1}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $y^{2} - 3 y + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{4}{(y - 2) (y - 1)} + \frac{7}{y^{2} - 1}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{4}{(y - 2) (y - 1)} + \frac{7}{y^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{4}{(y - 2) (y - 1)} + \frac{7}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{4}{(y - 2) (y - 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y + 1}{y + 1}$ 。

$\frac{4}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{7}{(y + 1) (y - 1)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{7}{(y + 1) (y - 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y - 2}{y - 2}$ 。

$\frac{4}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{7}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(y - 2) (y - 1) (y + 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{4}{(y - 2) (y - 1)}$ 乘以 $\frac{y + 1}{y + 1}$ 。

$\frac{4 (y + 1)}{(y - 2) (y - 1) (y + 1)} + \frac{7}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{7}{(y + 1) (y - 1)}$ 乘以 $\frac{y - 2}{y - 2}$ 。

$\frac{4 (y + 1)}{(y - 2) (y - 1) (y + 1)} + \frac{7 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(y - 2) (y - 1) (y + 1)$ 的因式。

$\frac{4 (y + 1)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)} + \frac{7 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{4 (y + 1) + 7 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{4 y + 4 \cdot 1 + 7 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 6.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 y + 4 + 7 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{4 y + 4 + 7 y + 7 \cdot - 2}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 6.4

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 y + 4 + 7 y - 14}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 6.5

将 $4 y$ 和 $7 y$ 相加。

$\frac{11 y + 4 - 14}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

解题步骤 6.6

从 $4$ 中减去 $14$ 。

$\frac{11 y - 10}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

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